Soal dan Pembahasan Relasi Rekursif (Kelompok 3)

RELASI REKURSIF

1.           Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut : Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.

          Ditanya : Hitunglah c5 !

a.       C5 = 90

b.      C5 = 92

c.       C5 = 84

d.      C5 = 94

Pembahasan :

         Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung,              tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

·         c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5

·         c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12

·         c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33

·         c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94

Jadi, c5 = 94

               2.      Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 ,                    b1 = 3  adalah…

a.      bn(h) =  1/6(-2)n + 1/3. (1)n      

b.      (a + 3) (a - 2)

c.       bn(h) = 1/5 (-3)n +1/5 . 2n  

d.      b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20

      Pembahasan :

     bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0

     = a2 + a- 2 = 0

     = (a+ 2) (a- 1) = 0

     a1 = -2     a2 = 1.

   Solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n       =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n

   Dengan kondisi batas b0= 2 dan b1= 3 ,maka:

·         b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2)    =>  0  = -4 A1 + 2 A2

·         b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3)    =>  1 =  -6 A1 +  3A2

·         -4 A1 + 2 A2 = 0        x  3       -12A1 +  6 A2  =  0

·         -6 A1 + 3A2  =  1       x 2        -12A1 +  6 A2  =  2    +

6A2 = 2

A2 = 1/3

-4A1 + 2A2 = 0

-4A1 + 2(1/3) = 0; A1 = 1/6

Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6 dan A2 =1/3.

Jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah

bn(h) =  1/6(-2)n + 1/3. (1)n

               3.      Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

               a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 0 

   a.      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  , a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

   b.       a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

   c.       a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,

  d.      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1) a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

  Pembahasan :

  Relasi rekurensi homogen :                        a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0.

 Persamaan karakteristiknya adalah             a²  +  4 a  + 4 = 0

                                                                                                (a+ 2) (a + 2) = 0

Akar-akar karakteristik   a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2, Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk:     

  

                                      a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ

              4.      Tentukan solusi homogen dari :
              bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
              a. 1(4)^n + 3(-2)^n
              b. 2(4)^n + 2(2)^n
              c. 1(-4)^n + 3(2)^n
              d. 2(-4)^n + 2(-2)^n

             Pembahasan :

 Kita ubah dulu bn menjadi α maka
 α² + 2α – 8 = 0
 (α – 4) (α + 2)
 α1 = 4 & α2 = -2 maka
 an = A1a1^n + A2a2^n
 = A1(4)^n + A2(-2)^n
 b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
 4 = A1 + A2
 b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
 -2 = 4A1 – 2A2

 Proses eliminasi:
 4    =  A1   +   A2  | x2 |    8   =  2A1 + 2A2
 -2  =  4A1 – 2A2   | x1 |   -2   =  4A1 – 2A2
                                           ---————- +
                                          6   =  6A1
                                         A1  =  1
                                         A2  =  3  sehingga
 an  =  A1a1^n + A2a2^n
         =  1(4)^n + 3(-2)^n

             5.      3an – 5an-1 + 2an-2 = n² + 5
             Diketahui : a₃ = 3 , a₄ = 3
             Tentukan : a₅ = ?

 a.       34

 b.      53

 c.       45

 d.      54

Pembahasan :

C0 = 3
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n² + 5

6 .      Tentukan solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !
A. an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
B. an (n) = (A 1 n + A 2) (-4) n
C. an (n) = (A 1 n + A2) (-5) n
D. an (n) = (A 1 n + A 2) (-6) n
E. an (n) = (A 1 n + A2) (-8) n

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 + 9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .

7.      Tentukan solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 .
A. bn(h) = (-3)n + .2n
B. bn(h) = 3n + .2n
C. bn(h) = (-2)n + .3n
D. bn(h) = (-3)n + .2n
E. bn(h) = 3n + .3n

Pembahasan :

Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a - 6 = 0 atau (a+ 3) (a - 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n

8.      Tentukan relasi rekursif  a_n – 3a_n-2 – a_n-3  =  0 untuk n ≥ 3 dengan a₀  = 1, a₁ = 2 dan a₂ = 4 !

a. a_n = 1(1)ⁿ + 1/2 n1ⁿ + 1/2 n² 1ⁿ

b. a_n = 1(1)ⁿ + 1/4 n1ⁿ + 1/4 n² 1ⁿ

c. a_n = 1(1)ⁿ - 1/2 n1ⁿ + 1/2 n² 1ⁿ

d. a_n = 1(1)ⁿ - 1/2 n1ⁿ - 1/2 n³ 1ⁿ

Pembahasan :

9.      A_n = 3a_n-1 + 5a_n-2

Tentukan a₂, jika a₀ = 2 dan a₁ = 1

Pembahasan :

10.       Diketahui barisan relasi rekursi a₀ = 2, a₁ = 4, a₂ = 5 Tentukan nilai a_3, a_4, dan a₅!

Pembahasan :

Hasil Akhir Website E-commerce Kelompok 3

pada postingan kali ini kami akan menjelaskan hasil akhir web e-commerce yang telah kami buat.

Website kami telah kami kembangkan lagi dan terdapat beberapa perubahan atau Update. 

Bagian yang kami Update diantaranya:

            Memasukkan Produk

            Membuat kategori dan sub kategori

            Mengganti logo

            Menampilkan sub menu pada home

Cara memasukkan produk

1.    Pilih menu Catalog à Products
   
2. Lalu pilih Tambahkan Produk baru +, Lalu masukkan informasi mengenai barang tersebut seperti informasi, harga, kategori, pengiriman, stok, gambar, lalu simpan. Kemudian produk tersebut akan tampil di Home 
3. 
   
   

Berikut ini adalah tampilan home yang telah diupdate

Hasil akhir dari web e-commerce kelompok kami sudah sampai ke pembelian dan sub menu sudahditambahkan dan sub kategori sudah ditambah, selain itu kelompok kami sudah memperbanyak produk yang ada di e-commerce kami.

TIPS DAN TRIK MENGHADAPI UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)

oleh : yohanes eudes payong

Persiapan yang paling utama dalam menghadapi ujian tengah semester adalah belajar. karena nilai yang diperoleh dari ujian tengah semester sangat berpengaruh pada indeks penilaian kumulatif. Berikut adalah tips dan trik yang akan saya berikan.

 Cicil belajar

Materi yang di berikan oleh dosen tentu tidak sedikit, ada dosen yang memberikan kisi-kisi ada juga yang tidak itu berarti kita harus mempelajari  semua materi yang di berikan oleh dosen tersebut, nah, biar ga kebut semaleman belajarnya trus besoknya lupa, ada baiknya untuk mencicil belajar matakuliah yang tidak diberikan kisi-kisi oleh dosen , misalnya, matakuliah yang materinya bejibun jadwal uts nya minggu depan , nah , kita belajarnya bisa dari minggu sebelumnya biar gak kebut semalem.

 Gaya belajar

Tentukan gaya belajar yang cocok dengamu, misalnya kalo saya belajarnya saya ringkas di selembar kertas lalu saya baca sampai saya hafal, kalau matakuliah hitung-hitungan tulis semua rumus yang menurut kamu penting jangan lupa untuk menghafal rumus yang sudah kamu tulis tersebut, lalu kerjakan semua latihan soal yang sudah diberikan oleh dosenmu. Kamu bisa belajar sendiri ataupun bersama dengan teman-teman kamu, ada baiknya untuk matakuliah hitungan kamu belajar dengan teman kamu yang unggul dalam matakuliah tersebut biar ketuleran pinternya.

Tetap belajar walau open book

Hampir semua mahasiswa pasti mengharapkan bisa open book saat uts karena gak perlu repot-repot ngafalin tuh materi, tapi karena sudah diberitahukan sebelumnya boleh liat buku banyak yang jadinya enggak belajar, di sini nih kesalahan mahasiswa, harusnya sebelum nya kamu harus belajar atau setidaknya membaca-baca sebentar lah, kalau soalnya hitungan sebaiknya kamu kerjakan latihan soal yang ada di catatan kamu biar gak bingung cara ngerjainnya, bisa jadi kamu lupa cara ngerjainnya soalnya materinya materi minggu pertama yang pasti udah lama banget. Jadi kamu harus tetap belajar walaupun open book.

 Harus ikut ujian

Sebaiknya kamu harus mengikuti ujian tengah semester karena kalau enggak ipk kamu bakalan anjlok seanjloknya, sayang bangetkan udah ikut kelas 10 minggu eh pas uts enggak masuk. Kalau Cuma sakit yang ringan yang kamu masih bisa bangun sebaiknya kamu masuk aja, soalnya kalau ikut ujian susulan sendirian gak enak loh.

Berdoa

Udah belajar malemnya eh pas ujian lupa semua, kurang doa tuh kayanya, percuma kan kalau kita belajar siang-malem tapi gak berdoa. Setidaknya sebelum mengerjakan soal ujian ada baiknya kamu berdoa terlebih dulu, biar diberikan kelancaran oleh Tuhan saat mengerjakan ujian tengah semester.

Nah diatas itu tips dan trik dalam menghadapi uts versi saya, ingat yah USAHA ITU TIDAK AKAN MENGKHIANATI HASIL.

Produk yang kami jual

Pada toko kami yang bernama "FristShop" kami menjual produk-produk fashion, seperti baju dan sepatu. 

Kategori produk pada aplikasi

kami membuat kategori dan subkategori, hal ini untuk mempermudah customers dalam pemilihan produk. kategori yang kami buat adalah baju, sepatu.


Jika memilih kategori Baju – Wanita – Kemeja

Jika memilih kategori Baju – Pria – Jaket

Jika memilih kategori Sepatu – Pria

Jika memilih kategori Sepatu - Wanita

Berikut ini adalah rancangan kategori produk ditoko kita

Dibawah ini adalah Cara Pembuatan Produk dan pembelian produk pada prestaShop.

https://www.youtube.com/watch?v=AXWDLkK1fp8&feature=youtu.be

CERITA PAHLAWAN

Ki Hajar Dewantara

 Ki Hajar Dewantara menjadi pahlawan pendidikan nasional karena pendidikan sistem among yang ia kembangkan di taman siswa. Ungkapannya sangat terkenal; “tut wuri handayani”, “ing madya mangun karsa”, dan “ing ngarsa sung tulada”. Istilah inipun tak hanya populer di kalangan pendidikan, tetapi juga pada berbagai aspek kehidupan lain.

Tokoh peletak dasar pendidikan nasional ini terlahir dengan nama Raden Mas Soewardi Soeryaningrat, dilahirkan di Yogyakarta pada hari Kamis, tanggal 2 Mei 1889. Ia berasal dari lingkungan keluarga kraton Yogyakarta. Pendidikan dasarnya diperoleh di Sekolah Dasar ELS (sekolah dasar Belanda) dan setelah lulus, ia meneruskan ke STOVIA (sekolah kedokteran Bumi putera) di Jakarta, tetapi tidak sampai selesai. Kemudian bekerja sebagai wartawan di beberapa surat kabar antara lain Sedya Tama, Midden Java, De Express, Oetoesan Hindia, Kaoem Moeda, Tjahaja Timoer, dan Poesara. Ia tergolong penulis tangguh pada masanya; tulisan-tulisannya sangat tegar dan patriotik serta mampu membangkitkan semangat antikolonial bagi pembacanya.

Selain menjadi seorang wartawan muda R.M. Soewardi juga aktif dalam organisasi sosial dan politik, ini terbukti di tahun 1908 dia aktif di Boedi Oetama dan mendapat tugas yang cukup menantang di seksi propaganda. Dalam seksi propaganda ini dia aktif untuk mensosialisasikan dan menggugah kesadaran masyarakat Indonesia pada waktu itu mengenai pentingnya kesatuan dan persatuan dalam berbangsa dan bernegara.

Setelah itu pada tanggal 25 Desember 1912 dia mendirikan Indische Partij yang bertujuan mencapai Indonesia merdeka, organisasi ini didirikan bersama dengan dr. Douwes Dekker dan dr. Cipto Mangoenkoesoemo. Organisasi ini berusaha didaftarkan status badan hukumnya pada pemerintahan kolonial Belanda tetapi ditolak pada tanggal 11 Maret 1913, yang dikeluarkan oleh Gubernur Jendral Idenburg sebagai wakil pemerintah Belanda di negara jajahan. Alasan penolakannya adalah karena organisasi ini dianggap oleh penjajah saat itu dapat membangkitkan rasa nasionalisme rakyat dan bergerak dalam sebuah kesatuan untuk menentang pemerintah kolonial Belanda .

Ki hajar dewantara merupakan pahlawan pendidikan yang sangat berjasa bagi dunia pendidikan di Indonesia berkat kegigihannya ia mampu membagi ilmunya untuk mencerdaskan kehidupan bangsa. Untuk itu kita sebagai orang yang mengeyam pendidikan harus bersyukur karena dapat mengenyam pendidikan dengan baik dan mudah. Kita juga harus melanjutkan perjuangan ki hajar dewantara untuk terus mencerdasakan kehidupan bangsa Indonesia agar menjadi bangsa yang maju dan mampu mensejahterakan masyarakatnya.