RELASI REKURSIF
- Diketahui suatu barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut : Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2, Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1). Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 =2.
Ditanya
: Hitunglah c5 !
a. C5
= 90
b. C5
= 92
c. C5
= 84
d.
C5
= 94
Pembahasan :
Oleh
karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung
secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
·
c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5
·
c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12
·
c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33
·
c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi,
c5 = 94
2.
Solusi homogen dari relasi rekurensi bn
+ bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 , b1 = 3 adalah…
a.
bn(h)
= 1/6(-2)n + 1/3. (1)n
b. (a
+ 3) (a - 2)
c. bn(h)
= 1/5 (-3)n +1/5 . 2n
d. b0(h)
= A1 (-3)0 + A2 . 20
Pembahasan :
bn
+ bn-1 – 2 bn-2 = 0
=
a2 + a- 2 = 0
=
(a+ 2) (a- 1) = 0
a1
= -2 a2 = 1.
Solusi
homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n
=>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n
Dengan
kondisi batas b0= 2 dan b1= 3 ,maka:
·
b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2) =>
0 = -4 A1 + 2 A2
·
b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3) =>
1 = -6 A1 + 3A2
·
-4 A1 + 2 A2 = 0 x
3 -12A1 + 6 A2 = 0
·
-6 A1 + 3A2 =
1 x 2 -12A1 +
6 A2 = 2 +
6A2 = 2
A2
= 1/3
-4A1
+ 2A2 = 0
-4A1
+ 2(1/3) = 0; A1 = 1/6
Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6 dan
A2 =1/3.
Jawab homogen dari relasi rekurensi bn +
bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah
bn(h) =
1/6(-2)n + 1/3. (1)n
3. Mana diantara berikut yang merupakan solusi
dari relasi rekurensi dari :
an + 4
an-1 + 4 an-2 = 0
a. an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n , an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
b.
an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
c.
an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d.
an(h) =
(A1 nm-1) an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
Pembahasan :
Relasi rekurensi
homogen :
an + 4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan
karakteristiknya
adalah a2 + 4 a +
4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Akar-akar
karakteristik a1 = a2 =
-2 , m = 2,
Oleh karena akar-akar
karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya
berbentuk:
an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n
4. Tentukan
solusi homogen dari :
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
a. 1(4)^n + 3(-2)^n
b. 2(4)^n + 2(2)^n
c. 1(-4)^n + 3(2)^n
d. 2(-4)^n + 2(-2)^n
bn + 2bn-1 – 8bn-2 = 0; dengan batas b0 = 4 & b1 = 3
a. 1(4)^n + 3(-2)^n
b. 2(4)^n + 2(2)^n
c. 1(-4)^n + 3(2)^n
d. 2(-4)^n + 2(-2)^n
Pembahasan :
Kita ubah dulu
bn menjadi α maka
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
α² + 2α – 8 = 0
(α – 4) (α + 2)
α1 = 4 & α2 = -2 maka
an = A1a1^n + A2a2^n
= A1(4)^n + A2(-2)^n
b0 = 4 = A1(4)^0 + A2(-2)^0
4 = A1 + A2
b1 = -2 = A1(4)^1 + A2(-2)^1
-2 = 4A1 – 2A2
Proses
eliminasi:
4 = A1 + A2 | x2 | 8 = 2A1 + 2A2
-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2
---————- +
6 = 6A1
A1 = 1
A2 = 3 sehingga
an = A1a1^n + A2a2^n
= 1(4)^n + 3(-2)^n
4 = A1 + A2 | x2 | 8 = 2A1 + 2A2
-2 = 4A1 – 2A2 | x1 | -2 = 4A1 – 2A2
---————- +
6 = 6A1
A1 = 1
A2 = 3 sehingga
an = A1a1^n + A2a2^n
= 1(4)^n + 3(-2)^n
5. 3an
– 5an-1 + 2an-2 = n2 + 5
Diketahui : a3 = 3 , a4 = 3
Tentukan : a5 = ?
Diketahui : a3 = 3 , a4 = 3
Tentukan : a5 = ?
a. 34
b. 53
c. 45
d.
54
Pembahasan :
C0 = 3
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n2 + 5
C1 = -5
C2 = 2
K = 2
F(n) = n2 + 5
6 . Tentukan
solusi dari relasi rekurensi an + 6an-1 + 9an-2 = 0 !
A. an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
B. an (n) = (A 1 n + A 2) (-4) n
C. an (n) = (A 1 n + A2) (-5) n
D. an (n) = (A 1 n + A 2) (-6) n
E. an (n) = (A 1 n + A2) (-8) n
A. an (n) = (A 1 n + A 2 ) (-3) n
B. an (n) = (A 1 n + A 2) (-4) n
C. an (n) = (A 1 n + A2) (-5) n
D. an (n) = (A 1 n + A 2) (-6) n
E. an (n) = (A 1 n + A2) (-8) n
Pembahasan :
Relasi rekurensi homogen : an + 6an-1 +
9an-2 = 0.
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
Persamaan karakteristiknya adalah
a2 + 6a + 9 = 0
(a + 3) (a + 3) = 0
Hingga diperoleh akar-akar karakteristiknya a1 = a2 = -3, m = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk
an (h) = (A 1 n m-1 + A 2 n m-2 ) a1n
an (h) = (A 1 n + A 2) (-3) n .
7. Tentukan
solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 dengan kondisi
batas b0 = 0 , b1 = 1 .
A. bn(h) = (-3)n + .2n
B. bn(h) = 3n + .2n
C. bn(h) = (-2)n + .3n
D. bn(h) = (-3)n + .2n
E. bn(h) = 3n + .3n
A. bn(h) = (-3)n + .2n
B. bn(h) = 3n + .2n
C. bn(h) = (-2)n + .3n
D. bn(h) = (-3)n + .2n
E. bn(h) = 3n + .3n
Pembahasan :
Relasi rekurensi tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah a2 + a - 6 = 0 atau (a+ 3) (a - 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 = -3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) = A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) = A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 = 0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0 = A1 + A2 .
b1(h) = A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1 = -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 , sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n
8. Tentukan relasi rekursif
an – 3an-2 – an-3 = 0
untuk n ≥ 3 dengan a0 = 1, a1
= 2 dan a2 = 4 !
a. an
= 1(1)n + 1/2 n1n + 1/2 n2 1n
b.
an
= 1(1)n + 1/4 n1n + 1/4 n2 1n
c.
an
= 1(1)n - 1/2 n1n + 1/2 n2 1n
d.
an
= 1(1)n - 1/2 n1n - 1/2 n3
1n
Pembahasan :
9.
An
= 3an-1 + 5an-2
Tentukan
a2, jika a0 = 2 dan a1 = 1
Pembahasan :
10.
Diketahui barisan relasi rekursi a0
= 2, a1 = 4, a2 = 5 Tentukan nilai a3, a4,
dan a5!
Pembahasan :
